Question

在直角坐標系中，曲線C₁的參數方程為：

x=2cosα y= 2 sinα

（α為參數），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并取與直角坐標系相同的長度單位，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為：ρ=cosθ．
（I）求曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P，Q分別是曲線C₁和C₂上的任意一點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₂的極坐標方程化為普通方程，再化為標準形式；
（Ⅱ）設出點P的坐標，求出曲線C₂的圓心，計算點P到圓心的距離d，即可得出|PQ|的最小值d-r．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=cosθ，∴ρ²=ρcosθ，
化為普通方程是x²+y²=x，
即(x-

1

2

)2+y²=

1

4

；
（Ⅱ）設P（2cosα，

2

sinα），圓心C2(

1

2

，0)，

|PC2|= (2cosα- 1 2 )2+( 2 sinα)2   = 4cos2α-2cosα+ 1 4 +2sin2α = 2cos2α-2cosα+ 9 4

；
∴當cosα=

1

2

時，|PC2|min=

7

2

，
∴|PQ|的最小值是|PQ|min=

7 -1

2

．

點評：本題考查了參數方程與極坐標的應用問題，解題時應熟練地把參數方程與極坐標方程和普通方程互相轉化，尋找解題的適當方法，是基礎題．