【題目】如圖,在多面體ABCDM中,△BCD是等邊三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD.
(Ⅰ)求證:CD⊥AM;
(Ⅱ)若AM=BC=2,求直線AM與平面BDM所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:取CD的中點O,連接OB,OM. ∵△BCD是等邊三角形,
∴OB⊥CD.
∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,
∴OM⊥CD.
∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM平面CMD,
∴OM⊥平面BCD.
又∵AB⊥平面BCD,
∴OM∥AB.
∴O,M,A,B四點共面.
∵OB∩OM=O,OB平面OMAB,OM平面OMAB,
∴CD⊥平面OMAB.∵AM平面OMAB,
∴CD⊥AM.
(Ⅱ)作MN⊥AB,垂足為N,則MN=OB.
∵△BCD是等邊三角形,BC=2,
∴ ,CD=2.
在Rt△ANM中, .
∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,
∴ .
∴AB=AN+NB=AN+OM=2.
以點O為坐標原點,以OC,BO,OM為坐標軸軸建立空間直角坐標系O﹣xyz,
則M(0,0,1), ,D(﹣1,0,0), .
∴ , , .
設平面BDM的法向量為 =(x,y,z),
由n ,n ,∴ ,
令y=1,得 = .
設直線AM與平面BDM所成角為θ,
則 = = .
∴直線AM與平面BDM所成角的正弦值為 .
【解析】(I)取CD的中點O,連接OB,OM,則可證OM∥AB,由CD⊥OM,CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM,于是CD⊥AM;(II)以O為原點建立空間直角坐標系,求出 和平面BDM的法向量 ,則直線AM與平面BDM所成角的正弦值為|cos< >|.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a,b∈R)在點 (2,f(2)) 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2,且函數(shù)過點(4, ). (Ⅰ)求a、b 的值及函數(shù) f (x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)= (k∈N*),對任意的實數(shù)x0>1,都存在實數(shù)x1 , x2滿足0<x1<x2<x0 , 使得f(x0)=f(x1)=f(x2),求k 的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2 , g(x)= +x+b,且直線y=﹣ 是函數(shù)f(x)的一條切線. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)對任意的x1∈[1, ],都存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2),求b的取值范圍.
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【題目】設公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若a2 , a5 , a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm﹣Sn)(m>n>0,m,n∈N*),則m+n的值是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=af(x)﹣|x﹣1|.
(Ⅰ)當a=0時,若g(x)≤|x﹣2|+b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅱ)當a=1時,求g(x)的最大值.
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【題目】下列函數(shù)中滿足在(﹣∞,0)上單調遞減的偶函數(shù)是( )
A.
B.y=|log2(﹣x)|
C.
D.y=sin|x|
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【題目】如果對一切實數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
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【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案,供電局對居民用電進行了調查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量(單位:度),將數(shù)據(jù)按照[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700),[700,800),[800,900]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數(shù);
(Ⅱ)從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶,用X表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.
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