【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2 , g(x)= +x+b,且直線y=﹣ 是函數(shù)f(x)的一條切線. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)對(duì)任意的x1∈[1, ],都存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2),求b的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)直線y=﹣ 與f(x)相切于點(diǎn)(x0 , lnx0+ax02)(x0>0), f′(x)= +2ax= ,
依題意得 ,解得 ,
所以a=﹣ ,經(jīng)檢驗(yàn):a=﹣ 符合題意;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=lnx﹣ x2 ,
所以f′(x)= ﹣x= ,
當(dāng)x∈(1, ]時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在[1, ]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x∈[1, ]時(shí),f(x)min=f( )= ﹣ e,f(x)max=f(1)=﹣ ,
,
當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x∈(1,4]時(shí),g(x)min=g(1)=2+b, ,
依題意得 ,
即有 ,
解得 .
【解析】(Ⅰ)設(shè)直線y=﹣ 與f(x)相切于點(diǎn)(x0 , lnx0+ax02)(x0>0),求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由已知切線方程,可得切線的斜率為0,及f(x0)=﹣ ,解方程可得a的值;(Ⅱ)由題意可得f(x)在[1, ]的值域包含于g(x)在[1,4]的值域.運(yùn)用導(dǎo)數(shù), 求得單調(diào)性,可得值域,再由不等式解得即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},從集合A中隨機(jī)地取出一個(gè)元素P(x,y),則P(x,y)∈B的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C,F(xiàn)為⊙O上的點(diǎn),CA是∠BAF的角平分線,過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于D點(diǎn),CM⊥AB,垂足為點(diǎn)M.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)求證:AMMB=DFDA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a2=b2+c2+bc. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2 ,b=2,求c的值.
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【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是( )
A.[ ,2)
B.[ ,2]
C.[ ,1)
D.[ ,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4sinxcos2( + )﹣cos2x.
(1)將函數(shù)y=f(2x)的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在x∈[ , ]上的值域;
(2)已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,且滿足b=2,f(A)= a=2bsinA,B∈(0, ),求△ABC的面積.
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【題目】已知m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題: ①若α⊥β,m∥α,則m⊥β;
②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β;
③若m⊥β,m∥α,則α⊥β;
④若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.①③
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【題目】如圖,在多面體ABCDM中,△BCD是等邊三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD.
(Ⅰ)求證:CD⊥AM;
(Ⅱ)若AM=BC=2,求直線AM與平面BDM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某單位的職工食堂中,食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包,然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購進(jìn)了90個(gè)面包,以x(單位:個(gè),60≤x≤110)表示面包的需求量,T(單位:元)表示利潤(rùn).
(Ⅰ)求T關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率;
(Ⅲ)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率(例如:若需求量x∈[60,70),則取x=65,且x=65的概率等于需求量落入[60,70)的頻率),求T的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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