Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若對(duì)于任意的n∈N* ， 都有Sn=2an﹣3n．
（1）求證{an+3}是等比數(shù)列
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3n．

∴令n=1，則a1=S1=2a1﹣3．解得a1=3，

又Sn+1=2an+1﹣3（n+1），Sn=2an﹣3n，

兩式相減得，

an+1=2an+1﹣2an﹣3，則an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），

又a1+3=6，

∴{an+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列

（2）解：∵{an+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．

∴an+3=6×2n﹣1，∴an=6×2n﹣1﹣3

（3）解：∵an=6×2n﹣1﹣3．

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：

Sn=6× ﹣3n=6×2n﹣3n﹣6

【解析】（1）令n=1，則a1=S1=2a1﹣3．求出a1=3，由Sn+1=2an+1﹣3（n+1），得Sn=2an﹣3n，兩式相減，推導(dǎo)出an+1+3=2（an+3），由此能證明{an+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．（2）由an+3=6×2n﹣1 ， 能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（3）由an=6×2n﹣1﹣3，能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)，掌握通項(xiàng)公式：，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．