【題目】在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=3,AA1=3 ,D為AA1的中點,BD與AB1交于點O,CO⊥側(cè)面ABB1A1 . (Ⅰ)證明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:由題意tan∠ABD= = ,tan∠AB1B= = , ∵0<∠ABD< ,0<∠AB1B< ,∴∠ABD=∠AB1B,
∴∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ,則AB1⊥BD.
又CO⊥側(cè)面ABB1A1 , AB1⊥CO.
又BD與CO交于點O,AB1⊥平面CBD,
又BC平面CBD,BC⊥AB1;
(Ⅱ)解:如圖,以O(shè)為原點,分別以O(shè)D,OB1 , OC所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
則 ,B( ,0,0),C(0,0, ),B1( ),
∴ , , .
設(shè)平面ABC的法向量為 =(x,y,z),
則 ,令x=1,可得 =(1, ,﹣ )是平面ABC的一個法向量.
設(shè)平面A1AC的法向量為 =(x,y,z),
則 ,令x=2,可得 =(2,﹣ , )是平面A1AC的一法向量.
設(shè)二面角A1﹣AC﹣B的平面角為α,則cosα=|cos< >|=| |= = .
二面角A1﹣AC﹣B的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由題意求得∠ABD=∠AB1B,且∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ,則AB1⊥BD.再由CO⊥側(cè)面ABB1A1 , 得AB1⊥CO.結(jié)合線面垂直的判定可得AB1⊥平面CBD,進一步得到BC⊥AB1; (Ⅱ)以O(shè)為原點,分別以O(shè)D,OB1 , OC所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,求出相應(yīng)點的坐標(biāo),再求得平面ABC及平面A1AC的法向量,由兩個法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣AC﹣B的平面角的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點,需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能正確解答此題.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊長是a,b,c公差為1的等差數(shù)列,且a+b=2ccosA. (Ⅰ)求證:C=2A;
(Ⅱ)求a,b,c.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長度,且以原點為極點,x軸的正半軸為極軸)中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.
(1)若直l線與圓C相切,求實數(shù)a的值;
(2)若點M的直角坐標(biāo)為(1,1),求過點M且與直線l垂直的直線m的極坐標(biāo)方程.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+b2+c2=ac+bc+ca.
(1)證明:△ABC是正三角形;
(2)如圖,點D的邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD= ,求sin∠BAD的值.
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【題目】已知函數(shù) ,把函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個單位得函數(shù)g(x)的圖象,則下面結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)g(x)是奇函數(shù)
B.函數(shù)g(x)在區(qū)間[π,2π]上是增函數(shù)
C.函數(shù)g(x)的最小正周期是4π
D.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有垣厚五尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問幾何日相逢?各穿幾何?”,翻譯成今天的話是:一只大鼠和一只小鼠分別從的墻兩側(cè)面對面打洞,已知第一天兩鼠都打了一尺長的洞,以后大鼠每天打的洞長是前一天的2倍,小鼠每天打的洞長是前一天的一半,已知墻厚五尺,問兩鼠幾天后相見?相見時各打了幾尺長的洞?設(shè)兩鼠x 天后相遇(假設(shè)兩鼠每天的速度是勻速的),則x=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件,它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字,一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國,甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人(被稱為微商).為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時間,某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50 名,其中每天玩微信超過6 小時的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:
微信控 | 非微信控 | 合計 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“微信控”與”性別“有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5 人并從選出的5 人中再隨機抽取3 人贈送200 元的護膚品套裝,記這3 人中“微信控”的人數(shù)為X,試求X 的分布列與數(shù)學(xué)期望. 參考公式: ,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】《九章算術(shù)均輸》中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中,乙所得為( )
A. 錢
B. 錢
C. 錢
D. 錢
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【題目】等差數(shù)列{an}中,Sn是前n項和,且S3=S8 , S7=Sk , 則k的值為( )
A.4
B.11
C.2
D.12
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