【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a2+b2+c2=ac+bc+ca.
(1)證明:△ABC是正三角形;
(2)如圖,點(diǎn)D的邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD= ,求sin∠BAD的值.

【答案】
(1)證明:由a2+b2+c2=ac+bc+ca,

得(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0,

所以a﹣b=b﹣c=c﹣a=0,

所以a=b=c,

即△ABC是正三角形


(2)解:因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,BC=2CD,

所以AC=2CD,∠ACD=120°,

所以在△ACD中,由余弦定理可得:AD2=AC2+CD2﹣2ACCDcos∠ACD,

可得:7=4CD2+CD2﹣4CDCDcos120°,解得CD=1,

在△ABC中,BD=3CD=3,由正弦定理可得sin∠BAD= = =


【解析】(1)由已知利用配方法可得(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0,從而可求a=b=c,即△ABC是正三角形.(2)由已知可求AC=2CD,∠ACD=120°,由余弦定理可解得CD=1,又BD=3CD=3,由正弦定理可得sin∠BAD= 的值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正弦定理的定義和余弦定理的定義,掌握正弦定理:;余弦定理:;;即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.
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