【題目】 如圖,是等腰直角三角形,,,分別為的中點,沿折起,得到如圖所示的四棱錐

(1)求證:平面;

(2)當(dāng)四棱錐體積取最大值時,

(i) 寫出最大體積;

(ii) 與平面所成角的大小.

【答案】(1)見解析;(2)(i)最大體積為;(ii).

【解析】

1)由翻折前后的不變性,得,,且,可證得;

2)(i)當(dāng)面底面時,四棱錐的體積達到最大;

(ii)當(dāng)四棱錐體積取最大值時,可得平面ABFE.,以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),求出平面的一個法向量和,再求兩個向量夾角的余弦值,進而得到線面角的正弦值。

證明:(1)因為是等腰直角三角形,分別為的中點,

所以,,又因為,

所以,因為,

所以.

(2)(i) 當(dāng)面底面時,四棱錐的體積達到最大,

.

(ii) 因為四棱錐體積取最大值,所以平面ABFE.

分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,,,.

設(shè)平面的一個法向量為,由得,

,得.則

所以,所以與平面所成角的正弦值為,

所以與平面所成角的大小為.

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