【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為別為，，離心率是． 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別記為，．點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）求線段長(zhǎng)度的最小值．

（Ⅲ）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上的點(diǎn)滿足：的面積為．試確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【答案】（1）（2）（3）2

【解析】分析：（1）先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，再根據(jù)離心率得a，解得b,（2）設(shè)直線的方程為，解得S，得直線的方程，與直線聯(lián)立解得M,N坐標(biāo)，即得，最后根據(jù)基本不等式求最值，（3）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，求出S，由的面積得點(diǎn)到直線的距離等于，與點(diǎn)T在橢圓上，聯(lián)立方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

詳解：解：（Ⅰ）∵，且，

∴，，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，

從而．

由得．

設(shè)，則，得，

從而，即．

又，故直線的方程為，

由得，

∴，故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

故當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小值時(shí)，，

此時(shí)的方程為，，

∴，

要使的面積為，只需點(diǎn)到直線的距離等于，

所以點(diǎn)在平行于且與距離等于的直線上．

設(shè)，則由，解得或．

①當(dāng)時(shí)，由得，

∵，故直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，由得，

∵，故直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)．

綜上所述，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）已知點(diǎn)A（1，1），B（﹣1，3），且AB是圓的直徑，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）圓與y軸交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），圓心在直線2x﹣y﹣7＝0上，求圓的方程．

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【題目】 如圖，是等腰直角三角形，，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，

(i) 寫(xiě)出最大體積；

(ii) 求與平面所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知曲線，過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為．直線與曲線分別交于、．

(1)求的取值范圍；

(2)若、、成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市乘坐出租車(chē)的收費(fèi)辦法如下：

“不超過(guò)4千米的里程收費(fèi)12元；超過(guò)4千米的里程按每千米2元收費(fèi)（對(duì)于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米則不收費(fèi)，若其大于或等于0.5千米則按1千米收費(fèi)；當(dāng)車(chē)程超過(guò)4千米時(shí)，另收燃油附加費(fèi)1元”，相應(yīng)系統(tǒng)收費(fèi)的程序框圖如圖所示，其中（單位：千米）為行駛里程，（單位：元）為所收費(fèi)用，用表示不大于的最大整數(shù)，則圖中①處應(yīng)填（ ）

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知奇函數(shù)滿足，則（ ）

A. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)

C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有下列四個(gè)說(shuō)法：

①已知向量， ，若與的夾角為鈍角，則；

②先將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的后，再將所得函數(shù)圖象整體向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象；

③函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；

④函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

其中正確的是__________.（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某機(jī)械廠欲從米，米的矩形鐵皮中裁剪出一個(gè)四邊形加工成某儀器的零件，裁剪要求如下：點(diǎn)分別在邊上，且，.設(shè)，四邊形的面積為（單位：平方米）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，求出定義域；

（2）當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí)，裁剪出的四邊形的面積最小，并求出最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，其中m是常數(shù)．

（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；

（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[﹣3，1]，有f（tx）+f（2t﹣1）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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