Question

(本小題13分)
已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作不與坐標軸垂直的直線，交橢圓于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且，求取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N 三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)
(2)

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由題意知=1．
，
故橢圓方程為．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 設(shè)的方程為，
代入，得，
設(shè)，則，
，，
，
，

，
，
 ，
由，
當時, 有成立． 
（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線．
依題意知，直線BC的方程為，
令y=0，則，    
∵的方程為，A、B在直線上，
∴
∴
∴在軸上存在定點，使得、、三點共線．  
解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以.
設(shè)的方程為，
代入，得，
設(shè)，則，    
，，
∵，∴，
∴，
∴，
，∴，
∴∵， ∴，
∴．
當時, , 有成立．    
(Ⅲ) 在軸上存在定點，使得、、三點共線．
設(shè)存在，使得、、三點共線， 則∥，
，，
，
即．

，．∴，存在，使、、三點共線．