【題目】已知函數(shù)f(x)=( )x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
(1)若f(g(x))=6﹣x2 , 求實數(shù)x的值;
(2)若函數(shù)y=g(f(x2))的定義域為[m,n](m≥0),值域為[2m,2n],求實數(shù)m,n的值;
(3)當x∈[﹣1,1]時,求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a).
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=( )x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,
∴g(x)= ,
∵f(g(x))=6﹣x2,
∴ =6﹣x2=x,
即x2+x﹣6=0,
解得x=2或x=﹣3(舍去),
故x=2,
(2)解:y=g(f(x2))= =x2,
∵定義域為[m,n](m≥0),值域為[2m,2n],
,
解得m=0,n=2,
(3)解:令t=( )x,
∵x∈[﹣1,1],
∴t∈[ ,2],
則y=[f(x)]2﹣2af(x)+3等價為y=m(t)=t2﹣2at+3,
對稱軸為t=a,
當a< 時,函數(shù)的最小值為h(a)=m( )= ﹣a;
當 ≤a≤2時,函數(shù)的最小值為h(a)=m(a)=3﹣a2;
當a>2時,函數(shù)的最小值為h(a)=m(2)=7﹣4a;
故h(a)=
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求出g(x),即可得到f(g(x))=x,解得即可.(2)先求出函數(shù)的解析式,得到 ,解得m=0,n=2,(3)由x∈[﹣1,1]可得t∈[ ,2],結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),對a進行分類討論,即可得到函數(shù)y=f2(x)﹣2af(x)+3的最小值h(a)的表達式.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲挡拍苷_解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=4sinx(cosx﹣sinx)+3 (Ⅰ)當x∈(0,π)時,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)在[0,θ]上的值域為[0,2 +1],求cos2θ的值.
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【題目】要得到函數(shù)y=log2(2x+1)的圖象,只需將y=1+log2x的圖象( )
A.向左移動 個單位
B.向右移動 個單位
C.向左移動1個單位
D.向右移動1個單位
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【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=6,且數(shù)列{an﹣1﹣an}{n∈N*}是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列{ }的前n項和為Sn , 求滿足不等式Sn> 的n的最小值.
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【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局(如上海道路幾乎都是東西和南北走向).在這樣的城市中,我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離(位移),而是實際路程(如圖).在直角坐標平面內(nèi),我們定義A(x1 , y1)、B(x2 , y2)兩點間的“直角距離”為:D(AB)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.
(1)在平面直角坐標系中,寫出所有滿足到原點的“直角距離”
為2的“格點”的坐標;(格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點)
(2)定義:“圓”是所有到定點“直角距離”為定值的點組成的圖形,點A(1,3),B(1,1),C(3,3),求經(jīng)過這三個點確定的一個“圓”的方程,并畫出大致圖象;
(3)設(shè)P(x,y),集合B表示的是所有滿足D(PO)≤1的點P所組成的集合,
點集A={(x,y)|﹣1≤x≤1,﹣1≤y≤1},
求集合Q={(x,y)|x=x1+x2 , y=y1+y2 , (x1 , y1)∈A,(x2 , y2)∈B}所表示的區(qū)域的面積.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,點E是BC的中點.
(1)求線段DE的長;
(2)求直線A1E與平面ADD1A1所成角的正弦值.
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【題目】已知銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且2csinB= b.
(1)求角C的大;
(2)若邊c=1,求△ABC面積的最大值.
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【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦長AB為直徑的圓過原點,若存在求出直線的方程l,若不存在說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
(1)證明:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再根據(jù)結(jié)論確定f(m2﹣m+1)+f(﹣ )與0的大小關(guān)系;
(3)是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上的值域為[kea , keb].若存在,求出實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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