【題目】已知函數(shù)f(x)= (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
(1)證明:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再根據(jù)結(jié)論確定f(m2﹣m+1)+f(﹣ )與0的大小關(guān)系;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上的值域?yàn)閇kea , keb].若存在,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)證明:函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,

對(duì)于任意的x∈R,都有f(﹣x)= = =﹣f(x),

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)


(2)解:f(x)= 在R上為增函數(shù),理由如下:

∵f′(x)= >0恒成立,

∴f(x)= 在R上為增函數(shù),

∴f(m2﹣m+1)≥f(﹣ )=﹣f( ),

∴f(m2﹣m+1)+f(﹣ )≥0


(3)∵f(x)為R上的增函數(shù)且函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上的值域?yàn)閇kea,keb].

∴k>0且 ,

=kex在R上有兩個(gè)不等實(shí)根;

令t=ex,t>0且單調(diào)增,問題即為方程kt2+(k﹣1)t+1=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根,

設(shè)h(t)=kt2+(k﹣1)t+1,

,解得:0<k<3﹣2


【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義,可判斷函數(shù)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)= 在R上為增函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)法可證明結(jié)論,進(jìn)而判斷出f(m2﹣m+1)+f(﹣ )≥0;(3)若函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上的值域?yàn)閇kea,keb].則 =kex在R上有兩個(gè)不等實(shí)根,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的圖象(函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成;圖像上每一點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值,他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某個(gè)值,縱坐標(biāo)y表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值),還要掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=( x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(1)若f(g(x))=6﹣x2 , 求實(shí)數(shù)x的值;
(2)若函數(shù)y=g(f(x2))的定義域?yàn)閇m,n](m≥0),值域?yàn)閇2m,2n],求實(shí)數(shù)m,n的值;
(3)當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a).

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【題目】下列說法中,正確的是(
A.命題“若x≠2或y≠7,則x+y≠9”的逆命題為真命題
B.命題“若x2=4,則x=2”的否命題是“若x2=4,則x≠2”
C.命題“若x2<1,則﹣1<x<1”的逆否命題是“若x<﹣1或x>1,則x2>1”
D.若命題p:x∈R,x2﹣x+1>0,q:x0∈(0,+∞),sinx0>1,則(¬p)∨q為真命題

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(1)設(shè)對(duì)乙產(chǎn)品投入資金x萬元,求總利潤(rùn)y(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
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(2)當(dāng)b=0時(shí),若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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A.
B.1
C.
D.

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