已知橢圓的左右焦點分別是,離心率,為橢圓上任一點,且的最大面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點,且以為直徑的圓恒過原點,若實數(shù)滿足條件,求的最大值.
(Ⅰ)橢圓的方程;(Ⅱ)的最大值為.
解析試題分析:(Ⅰ)依題意得:,這是一個關(guān)于的方程組,解這個方程組便可得的值,從而得橢圓的方程.
(Ⅱ)設(shè),由于以為直徑的圓恒過原點,所以,即……………………………………………………①
設(shè)直線的方程,聯(lián)立方程組,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得:、,代入①便得一個含的等式.
將變形化簡得:.
因此,要求的最大值,只需求的最大值,而可以用含的式子表示出來,再利用前面含的等式換掉一個變量,得一個只含一個變量的式子,再利用求函數(shù)最值的方法,便可求出其最大值.
試題解析:(Ⅰ)依題意得:,解得:,
于是:橢圓的方程,
(Ⅱ)設(shè)直線的方程由得:,
設(shè),則.
由于以為直徑的圓恒過原點,于是,即,
又,
于是:,即
依題意有:,即.
化簡得:.
因此,要求的最大值,只需求的最大值,下面開始求的最大值:
.
點到直線的距離,于是:.
又因為,所以,
代入得.
令,
于是:.
當即,即時,取最大值,且最大值為.
于是:的最大值為.
考點:1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖示:已知拋物線的焦點為,過點作直線交拋物線于、兩點,經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、,切線與相交于點.
(1)當點在第二象限,且到準線距離為時,求;
(2)證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知圓和圓.
(1)若直線過點,且被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設(shè)為平面上的點,滿足:存在過點的無窮多對互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是,
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為F2,點F1與F2關(guān)于坐標原點對稱,以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)點,過點F2作直線與橢圓C交于A,B兩點,且,若的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個頂點為,焦點在軸上,若右焦點到直線的距離為3.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點、,當時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知經(jīng)過點A(-4,0)的動直線l與拋物線G:相交于B、C,當直線l的斜率是時,.
(Ⅰ)求拋物線G的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系中,、分別是橢圓的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于、兩點,其中在第一象限.過作軸的垂線,垂足為.連接,并延長交橢圓于點.設(shè)直線的斜率為.
(Ⅰ)當直線平分線段時,求的值;
(Ⅱ)當時,求點到直線的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:.
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