已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

(1);(2);(3)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用離心率及解出得到橢圓的標準方程;第二問,先設(shè)出直線的方程,因為直線與橢圓相交,消參得關(guān)于的方程,因為相交于2個交點,所以得到的取值范圍,設(shè)出點坐標,則求出兩根之和、兩根之積及,所以,將上述的條件代入,得到的表達式,求最值;第三問,先通過對稱,得到點的坐標,列出直線的方程,令,得的值正好得1,所以得證.
試題解析:(1)解:由題意知,∴,即
,∴,
故橢圓的方程為 .    2分
(2)解:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
得:,      4分
得:,
設(shè)A(x1,y1),B (x2,y2),則  ①
,

,∴,∴
的取值范圍是.
(3)∵兩點關(guān)于軸對稱,∴
直線的方程為,令得:
,∴
由將①代入得:,∴直線軸交于定點.
考點:1.橢圓的標準方程;2.橢圓的離心率;3.直線與橢圓的位置關(guān)系;4.兩根之和、兩根之積.

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為在橢圓C上,A,B為橢圓C的左、右頂點.
(1)求橢圓C的方程:
(2)若P是橢圓上異于A,B的動點,連結(jié)AP,PB并延長,分別與右準線相交于M1,M2.問是否存在x軸上定點D,使得以M1M2為直徑的圓恒過點D?若存在,求點D的坐標:若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點,短軸長為4,且有一個焦點與拋物線的焦點重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知經(jīng)過定點M(2,0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點,試問在x軸上是否另存在一個定點P使得始終平分?若存在求出點坐標;若不存在請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心為直角坐標系的原點,焦點在軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,為橢圓的離心率),求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在直角坐標系中,已知中心在原點,離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點,過P作兩條斜率之積為的直線,當直線都與圓相切時,求P點坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當DAOB的面積等于時,求k的值. 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知曲線,求曲線過點的切線方程。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知動圓經(jīng)過點,且和直線相切,
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知曲線C上一點M,且5,求M點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的左右焦點分別是,離心率,為橢圓上任一點,且的最大面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的直線交橢圓兩點,且以為直徑的圓恒過原點,若實數(shù)滿足條件,求的最大值.

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