已知拋物線的焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且,若的取值范圍.
(Ⅰ)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,以,為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn),故可用待定系數(shù)法求橢圓方程,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由條件求出即可;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且,若的取值范圍,這是直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題,可采用設(shè)而不求的解題思想,設(shè)出直線的方程(注意需討論斜率不存在情況),與A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),利用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直接求解A,B的坐標(biāo)得到的值,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,和橢圓方程聯(lián)立后,利用,消掉點(diǎn)的坐標(biāo)得到λ與k的關(guān)系,根據(jù)λ的范圍求k的范圍,然后把轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式,最后利用基本不等式求出的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由題意得,
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
則 ③
④
將④代入③,解得或(舍去)
所以
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分
(Ⅱ)方法一:
容易驗(yàn)證直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為
將直線的方程代入中得:. 6分
設(shè),則由根與系數(shù)的關(guān)系,
可得: ⑤
⑥ 7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9a/a/xosel2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,且.
將⑤式平方除以⑥式,得:
由
所以 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/6/1fz0s4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
又,所以,
故
,
令,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/6/1ovix4.png" style="vertical-align:middle;" />
所以,即,
所以.
而,所以.
所以. 
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)DAOB的面積等于時(shí),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知A(-5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足||,||,8成等差數(shù)列.
(1)求P點(diǎn)的軌跡方程;
(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)M,若滿足||·||=,則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的“比例點(diǎn)”.問(wèn):對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P,它總能對(duì)應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在軸上方有一段曲線弧,其端點(diǎn)、在軸上(但不屬于),對(duì)上任一點(diǎn)及點(diǎn),,滿足:.直線,分別交直線于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用表示);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,離心率,為橢圓上任一點(diǎn),且的最大面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),且以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn),若實(shí)數(shù)滿足條件,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),直線、分別交直線 于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.記直線的斜率為,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知△ABC中, 點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(-,0),B(,0)點(diǎn)C在x軸上方.
(Ⅰ)若點(diǎn)C坐標(biāo)為(,1),求以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的橢圓的方程:
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(m,0)作傾斜角為的直線l交(1)中曲線于M,N兩點(diǎn),若點(diǎn)Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,橢圓C過(guò)點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓C的方程;
(2) 是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),證明直線的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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