如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為．

（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時(shí)，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求出點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設(shè)而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時(shí)需要考慮轉(zhuǎn)化.
思路二:設(shè),然后用表示出的坐標(biāo).這種方法要注意直線的方程應(yīng)設(shè)為: ,若用點(diǎn)斜式,則運(yùn)算量大為增加.
此類題極易在運(yùn)算上出錯,需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知: ,所以線段的中點(diǎn)為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點(diǎn),又直線過坐標(biāo)原點(diǎn),
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點(diǎn)到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設(shè),則
由題意得:
設(shè)直線的斜率分別為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/32/2/mtoxh.png" style="vertical-align:middle;" />在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達(dá)定理得:
所以
,所以
考點(diǎn)：本題考查橢圓的方程、直線的方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離，兩直線垂直的判定；考查韋達(dá)定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，離心率，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足條件，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M，N

（1）求的值；
（2）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為 證明：為定值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經(jīng)過點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為，短軸長為.
（I）求橢圓的方程；  
（II）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，若三角形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2) 是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn))，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為問:是否存在常數(shù)，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點(diǎn)分別為，是橢圓上的動點(diǎn)，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標(biāo)方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標(biāo)系下的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

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