Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且?x₁，x₂∈R，總有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）記g（x）=f（x）+1，求證：g（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對?n∈N^*，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n+1

）+1，記c_n=

bn

an

，求{c_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,抽象函數(shù)及其應用,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得g（x）=f（x）+1是奇函數(shù)．
（2）令x₁=n，x₂=1，得f（n）=2n-1，從而c_n=

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，計算即可．
（3）通過計算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，從而得出結(jié)果．

解答： 解：（1）證明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=-1，
再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1．
故f（-x）+1=-[f（x）+1]，從而g（x）=f（x）+1是奇函數(shù)；
（2）令x₁=n，x₂=1，得f（n+1）=f（n）+2，
故f（n）=2n-1，
從而an=

1

2n-1

，bn=2×

1

2n+1

-1+1=

1

2n

，
又c_n=

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，
S_n=Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+…+(2n-1)

1

2n

①

1

2

Sn=

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

23

+…+(2n-1)

1

2n+1

②
由①-②得S_n=Tn=3-

2n+3

2n

；
（3）∵F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1
=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0
∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
故F（n）的最小值為F(2)=a3+a4=

12

35

．

點評：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性，以及數(shù)列的求和，需要一定的計算能力，屬于中檔題．