Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F(xiàn)為線段A′C的中點．

（Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取A'D的中點M，連接 FM，EM，由已知得四邊形BFME為平行四邊形，由此能證明BF∥平面A'DE．
（Ⅱ）在平面BCDE內(nèi)作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，則BN⊥平面A'DE，連接A'N，∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，由此能求出直線A'B與平面A'DE所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：取A'D的中點M，連接 FM，EM．
∵F為A'C中點，∴FM∥CD且FM=

1

2

CD…（2分）
∴BE∥FM且BE=FM，
∴四邊形BFME為平行四邊形．…（4分）
∴BF∥EM，
又EM⊆平面A'DE，BF?平面A'DE，
∴BF∥平面A'DE…（6分）
（Ⅱ）解：在平面BCDE內(nèi)作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，
∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE=DE，
∴BN⊥平面A'DE，連接A'N，
則∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，…（8分）
∵△BNE∽△DAEBE=1，

AE

AD

=

EN

BN

=

1

2

，
∴BN=

2 5

5

，EN=

5

5

…（10分）
在△A'DE中作A'P⊥DE垂足為P，∵A'E=1，A'D=2，
∴A′P=

2 5

5

，∵EP=

5

5

，∴在直角△A'PN中，PN=

2 5

5

，
又A′P=

2 5

5

，
∴A′N=

2 10

5

…（14分）
∴在直角△A'BN中，tan∠BA′N=

BN

A′N

=

2

2

，
∴直線A'B與平面A'DE所成角的正切值為

2

2

．…（15分）

點評：本題考查線面平行的證明，考查線面角的正切值的求法，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法和學生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．