Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；

(2)令，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)時(shí),，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）利用公式，直接求切線方程；

（2），首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由（2）可知函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，分，，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷是否能使時(shí)，恒成立.

（1）當(dāng)時(shí)，

，，

，，

函數(shù)在處的切線方程是；

（2），

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， ，

（�。�時(shí)，即時(shí)，的解集是，

的解集是 ，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）時(shí)，成立，

由（2）可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，

（�。┊�(dāng)時(shí)，， 恒成立，單調(diào)遞減， ，

當(dāng)時(shí)，恒成立，；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，存在，使，即，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

，使不恒成立，故不成立；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，由（2）可知的單調(diào)性，在必存在區(qū)間，使函數(shù)，即存在，使單調(diào)遞增，

，使不恒成立，故不成立；

綜上可知：.