Question

已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過C₂與x軸的交點(diǎn)；
（1）求C₁的參數(shù)方程，并寫出直線l的一個參數(shù)方程；
（2）若直線l與C₁交于A，B兩點(diǎn)，|AB|≤

14

，求直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)，再求C₁的參數(shù)方程，求出C₂的直角坐標(biāo)，可得直線l經(jīng)過C₂與x軸的交點(diǎn)，從而寫出直線l的一個參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，直線l與C₁交于A，B兩點(diǎn)，|AB|≤

14

，可得圓心到直線的距離≥

22-( 14 2 )2

=

2

2

，從而

|k|

k2+1

≥

2

2

，求出k的范圍，即可求直線l的傾斜角的取值范圍．

解答： 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，可化為ρ²=4ρcosθ，即x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4，
∴C₁的參數(shù)方程為

x=2+2cosα y=2sinα

（α為參數(shù)）；
C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，可化為x+y-1=0，
令y=0，可得x=1，∴直線l的一個參數(shù)方程為

x=1+tcosθ y=tsinθ

（θ為參數(shù)）；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，則
∵直線l與C₁交于A，B兩點(diǎn)，|AB|≤

14

，
∴圓心到直線的距離≥

22-( 14 2 )2

=

2

2

，
∴

|k|

k2+1

≥

2

2

，
∴k²≥1，
∴k≤-1或k≥1，
又k不存在時也滿足題意，
∴直線l的傾斜角的取值范圍為[

π

4

，

3π

4

]．

點(diǎn)評：本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程之間的互化、應(yīng)用．考查了直線、圓的基本知識，屬于中檔題．