Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）+

1

2

x²-ax在點(diǎn)（1，h（1））處的切線與直線4x-y+1=0平行，求實(shí)數(shù)a的值
（Ⅱ）對任意的a∈[-1，0），若不等式f（x）＜

1

2

ax²+2x+b在x∈（0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍
（Ⅲ）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)A（a，g（a）），B（b，g（b）），N=（

a+b

2

，g（

a+b

2

））（a＜b），試根據(jù)如圖所示的曲邊梯形ABCD的面積與兩個(gè)直角梯形ADMN和NMCB的面積的大小關(guān)系，寫出一個(gè)關(guān)于a和b的不等式，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)h（x）=f（x）+

1

2

x²-ax在點(diǎn)（1，h（1））處的切線與直線4x-y+1=0平行，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）不等式b＞lnx-

1

2

ax²-2x對任意的a∈[-1，0）恒成立，則b＞（lnx-

1

2

ax²-2x）_max，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式b＞lnx-

1

2

x²-2x在x∈（0，1]上恒成立，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）由題意得曲邊梯形ABCD的面積小于與兩個(gè)直角梯形ADMN和NMCB的面積的和，可得e^b-e^a＜

1

4

（b-a）（e^b+e^a+2e

a+b

2

），再進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）h′（x）=

1+x2-ax

x

（x＞0），依題意得：h′（1）=4即2-a=4，
∴a=-2…（4分）
（Ⅱ）由不等式b＞lnx-

1

2

ax²-2x對任意的a∈[-1，0）恒成立，則b＞（lnx-

1

2

ax²-2x）_max，
∵函數(shù)φ（a）=lnx-

1

2

ax²-2x在a∈[-1，0）上為單調(diào)遞減，
∴φ（a）_max=φ（-1）=lnx+

1

2

x²-2x
∴問題轉(zhuǎn)化為不等式b＞lnx+

1

2

x²-2x在x∈（0，1]上恒成立，…（7分）
令G（x）=lnx+

1

2

x²-2x，則G′（x）=

(x-1)2

x

≥0．
∴G（x）_max=G（1）=-

3

2

∴b的取值范圍為b＞-

3

2

…（9分）
（Ⅲ）由題意得曲邊梯形ABCD的面積小于與兩個(gè)直角梯形ADMN和NMCB的面積的和，
用不等式表示為

∫

b a

exdx＜

1

4

（b-a）[g（a）+g（

a+b

2

）]+

1

4

（b-a）[g（b）+g（

a+b

2

）]…（10分）
即e^b-e^a＜

1

4

（b-a）（e^b+e^a+2e

a+b

2

）…（11分）
證明：設(shè)b=lnm，a=lnn，則e

a+b

2

=

mn

（0＜n＜m），
不等式e^b-e^a＜

1

4

（b-a）（e^b+e^a+2e

a+b

2

）等價(jià)于

m-n

lnm-lnn

＜

1

4

（m+n+2

mn

）…（11分）
即

m - n

m + n

＜

1

4

ln

m

n

令

m

n

=t（t＞1），則只要證

2(t-1)

t+1

＜lnt，
即

2(t-1)

t+1

-lnt＜0，
又令m（t）=

2(t-1)

t+1

-lnt，則m′（t）=

-(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴函數(shù)m（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴m（t）＜m（1）=0
∴e^b-e^a＜

1

4

（b-a）（e^b+e^a+2e

a+b

2

）…（14分）

點(diǎn)評：本題考查知識點(diǎn)較多，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的最值，定積分知識，綜合性強(qiáng)．