Question

已知數列{a_n}是首項為a（a≠0），公比為q的等比數列，設b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）
（1）求數列{b_n}的前n項和T_n；
（2）設c_n=log₄b_n，數列{c_n}的前n項和為S_n，若a=2，q=2，是否存在正正數k，使得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞k對任意正正數n恒成立？若存在，求出正整數k的值或范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等比數列的通項公式，求出首項和公比，即可求出相應的通項公式，數列{b_n}的前n項和T_n．
（2）數列{c_n}的前n項和為S_n，即得到得到結論．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}是首項為a（a≠0），公比為q的等比數列，
∴b_n=a_n+1-a_n=aqⁿ-aq^n-1=aq^n-1（q-1），
當q=1時，T_n=0；
當q≠1時，數列{b_n}是公比為q，首項為a（q-1）的等比數列，
∴T_n=

a(q-1)(1-qn)

1-q

=a（qⁿ-1），
綜上T_n═a（qⁿ-1）．…（6分）
（2）若a=2，q=2，則b_n=2ⁿ，
則c_n=log₄b_n=log₄2ⁿ=

n

2

，
∴S_n=

n(n+1)

4

，

1

Sn

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）．
則

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=4（1-

1

n+1

）≥4(1-

1

2

)=4×

1

2

=2，
即k＜2，
則正整數k的值為1．

點評：本題主要考查數列通項公式和前n項和的計算，利用裂項法法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．