Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，且滿(mǎn)足a_n+1=f（a_n），（n∈N^*）
（Ⅰ）令b_n=

1

an

-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=

n

an

，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意易得b_n+1=

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）=

1

2

b_n，即可得證；
（Ⅱ）c_n=

n

an

=n+

n

2n

，利用分組求和即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1=f（a_n），f（x）=

2x

x+1

，
∴a_n+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

2

（1+

1

an

），
∴b_n+1=

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）=

1

2

b_n，
又b₁=

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b_n=(

1

2

)n，

1

an

=

1

2n

+1，
∴c_n=

n

an

=n+

n

2n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（1+2+…+n）+（

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

）
=

n(n+1)

2

+2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的定義及數(shù)列求和的方法分組求和及錯(cuò)位相減法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及推理論證能力，屬中檔題．