【題目】如圖所示的幾何體中，底面為菱形， ， ， 與相交于點，四邊形為直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得平面.由面面垂直的判斷定理可得平面平面.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和題意建立空間直角坐標系，由平面的法向量可得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）因為底面為菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，從而.

又，所以平面，

由， ， ，

可知， ，

， ，

從而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中點，由題可知，所以平面，又在菱形中， ，所以分別以， ， 的方向為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系（如圖示），

則， ， ， ， ，

所以 ， ， .

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取為.

設(shè)平面的法向量為，

則即即令，得，

所以.

從而 .

故所求的二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．

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【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從高一學(xué)生中抽取100人做調(diào)查，得到列聯(lián)表，且已知在100個人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.

（1）請完成列聯(lián)表；

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

40

女生

30

合計

100

（2）根據(jù)列聯(lián)表，是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由.

附：參考公式與臨界值表如下：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的左焦點為，且點在C上．

求C的方程；

設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為點不經(jīng)過P點且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，直線PA，PB分別與x軸交于點M，N，若，求k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在3個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線： （為參數(shù)， ），在以坐標原點為極點， 軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線： .

（1）試將曲線與化為直角坐標系中的普通方程，并指出兩曲線有公共點時的取值范圍；

（2）當時，兩曲線相交于， 兩點，求.

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【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，直線l的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M，N兩點.

（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；

（2）若點，求的值.

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【題目】平面上有7個點，每三點的兩兩連線都組成一個不等邊三角形．求證：一定可以找到4對三角形，使每對三角形的公共邊既是其中一個三角形的最長邊又是另一個三角形的最短邊．

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同步練習(xí)冊答案