【題目】【2017河北唐山二模】已知函數(shù)的圖象與軸相切,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,求證:
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),設(shè)的圖象與軸相交于點(diǎn),由題意可得在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0,函數(shù)值為0,構(gòu)造方程組可得的值,將題意轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最大值即可;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合(Ⅰ)可得的單調(diào)性,從而有,化簡(jiǎn)整理可得,運(yùn)用換底公式及(Ⅰ)中的不等式可得,再次運(yùn)用可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ),設(shè)的圖象與軸相交于點(diǎn),
則即
解得.
所以,
等價(jià)于.
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以,
即,(*),所以.
(Ⅱ)設(shè),則,
由(Ⅰ)可知,當(dāng)時(shí),,
從而有,所以單調(diào)遞增,
又,所以,
從而有,即,
所以,即,
,
又,所以,
又,所以.
綜上可知,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知左焦點(diǎn)為F(﹣1,0)的橢圓過點(diǎn)E(1, ).過點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1 , k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中:①、若m>0,則方程x2﹣x+m=0有實(shí)根. ②、若x>1,y>1,則x+y>2的逆命題. ③、對(duì)任意的x∈{x|﹣2<x<4},|x﹣2|<3的否定形式. ④、△>0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件.是真命題的有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有Sn=2an﹣3n.
(1)設(shè)bn=an+3,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017安徽阜陽二模】一企業(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值,得到的頻率分布直方圖如圖.
(1)估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù);
(2)在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中,以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率,若,則產(chǎn)品不合格,現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測(cè),記不合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次測(cè)驗(yàn)中,有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n=1,2,…,6)的同學(xué)所得成績(jī),且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?
編號(hào)n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成績(jī)xn | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6 , 及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s;
(2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(1,2), =(x,1);
(1)若( +2 )⊥(2 ﹣ )時(shí),求x的值;
(2)若向量 與向量 的夾角為銳角,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017南京一模19】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的方程(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),記函數(shù),是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式
有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【南京市、鹽城市2017屆高三年級(jí)第二次模擬】(本小題滿分14分)
在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當(dāng)a=90時(shí),求紙盒側(cè)面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
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