【題目】已知左焦點為F(﹣1,0)的橢圓過點E(1, ).過點P(1,1)分別作斜率為k1 , k2的橢圓的動弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為線段AB的中點,求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由題意c=1,且右焦點F′(1,0)
∴2a=EF+EF′= ,b2=a2﹣c2=2
∴所求橢圓方程為
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
①, ②
②﹣①,可得k1= =﹣ =﹣
(3)證明:由題意,k1≠k2,
設(shè)M(xM,yM),直線AB的方程為y﹣1=k1(x﹣1),即y=k1x+k2,
代入橢圓方程并化簡得( )x2+6k1k2x+ =0
∴ ,
同理, ,
當(dāng)k1k2≠0時,直線MN的斜率k= =
直線MN的方程為y﹣ = (x﹣ )
即
此時直線過定點(0,﹣ )
當(dāng)k1k2=0時,直線MN即為y軸,此時亦過點(0,﹣ )
綜上,直線MN恒過定點,且坐標(biāo)為(0,﹣ )
【解析】(1)利用橢圓的定義求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)A,B的坐標(biāo),利用點差法確定k1的值;(3)求出直線MN的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及k1+k2=1探究直線過哪個定點.
【考點精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù).命題q:當(dāng)x∈[ ,2]時,函數(shù)f(x)=x+ > 恒成立.如果“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,則c的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,并討論兩曲線公共點的個數(shù);
(2)若,求由兩曲線與交點圍成的四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.
(Ⅰ)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?
(Ⅱ)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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【題目】已知函數(shù),(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.
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【題目】下列函數(shù)中,滿足“f(x+y)=f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=( )x
D.f(x)=3x
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【題目】對任意實數(shù)a,b定義運算“⊙”:a⊙b= 設(shè)f(x)=2x+1⊙(1﹣x),若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=x2﹣6x在區(qū)間(m,m+1)上均為減函數(shù),且m∈{﹣1,0,1,3},則m的值為( )
A.0
B.﹣1或0
C.0或1
D.0或1或3
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