【題目】【南京市、鹽城市2017屆高三年級第二次模擬】(本小題滿分14分)
在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當a=90時,求紙盒側(cè)面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
【答案】見解析
【解析】(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3600,故當a=90時,b=40,
從而包裝盒子的側(cè)面積
S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)
=-8x2+260x,x∈(0,20).…………………3分
因為S=-8x2+260x=-8(x-)2+,
故當x=時,側(cè)面積最大,最大值為平方厘米.
答:當x=時,紙盒的側(cè)面積的最大值為平方厘米.…………………6分
(2)包裝盒子的體積
V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈(0,),b≤60.……………8分
V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)
=x(3600-240x+4x2)
=4x3-240x2+3600x.…………………10分
當且僅當a=b=60時等號成立.
設(shè)f(x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30).
則f′(x)=12(x-10)(x-30).
于是當0<x<10時,f′(x)>0,所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增;
當10<x<30時,f′(x)<0,所以f(x)在(10,30)上單調(diào)遞減.
因此當x=10時,f(x)有最大值f(10)=16000,………………12分
此時a=b=60,x=10.
答:當a=b=60,x=10時紙盒的體積最大,最大值為16000立方厘米.
………………14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)h(x)=2sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位,再向上平移2個單位,得到函數(shù)f(x)的圖象,則函數(shù)f(x)的圖象( )
A.關(guān)于直線x=0對稱
B.關(guān)于直線x=π對稱
C.關(guān)于點( ,0)對稱
D.關(guān)于點( ,2)對稱
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研(二)】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費用(單位:百元)滿足如下關(guān)系:,且投入的肥料費用不超過5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為(單位:百元).
(1)求利潤函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)當投入的肥料費用為多少時,該水蜜桃樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2017揚州一模】如圖,矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖,點E在AB上,在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物,DE是玻璃幕墻,游客只能在ADE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭,為監(jiān)控角,其中M、N在線段DE(含端點)上,且點M在點N的右下方.經(jīng)測量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,.記(弧度),監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域PMN的面積為S平方米.
(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;(參考數(shù)據(jù):)
(2)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2017重慶市八中5月?】已知(),,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在(1)的條件下,當取最大值時,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在四面體ABCD中,E、F分別是AC、BD的中點,若CD=2AB=4,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為( )
A.90°
B.45°
C.60°
D.30°
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