Question

已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系長度單位相同，且以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸．設(shè)直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），曲線C₂：ρ=1．
（Ⅰ）當(dāng)α=

π

3

時，求曲線C₁的極坐標(biāo)方程及極徑ρ（ρ＞0）的最小值；
（Ⅱ）求曲線C₁與C₂兩交點的直角坐標(biāo)（用α表示）．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：對第（Ⅰ）問，先將直線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，接著寫出極徑ρ關(guān)于θ的表達(dá)式，可得ρ的最小值；
對第（Ⅱ）問，將C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立C₁的普通方程，把α看作常數(shù)，解此方程組，即得交點坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

(x-1)，
將y=ρsinθ，x=ρcosθ，代入上式得ρsinθ-

3

ρcosθ=-

3

，
故C₁的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+

π

6

)=

3

2

． 
∵ρ＞0，∴ρ=

3 2

cos(θ+ π 6 )

，且0＜cos(θ+

π

6

)≤1，
∴當(dāng)cos(θ+

π

6

)=1時，得θ+

π

6

=2kπ，k∈Z，
取k=1，得θ=

11π

6

時，極徑ρ有最小值

3

2

． 
（Ⅱ）消去參數(shù)t，得C₁的普通方程為y=（x-1）tanα，…①
由ρ²=x²+y²，得C₂的普通方程為x²+y²=1，…②
將①式代入②式中，得（1+tan²α）x²-2xtan²α+tan²α-1=0，
設(shè)C₁與C₂的兩交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1=

2tan2α+ △

2(tan2α+1)

=1，x2=

2tan2α- △

2(tan2α+1)

=

tan2α-1

tan2α+1

，
從而y₁=（x₁-1）tanα=0，y2=(x2-1)tanα=-

2tanα

tan2α+1

，
即C₁與C₂兩交點的直角坐標(biāo)為（1，0），(

tan2α-1

tan2α+1

，-

2tanα

tan2α+1

)．

點評：1．本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程，普通方程之間的互化．
（1）參數(shù)方程化普通方程時，關(guān)鍵是消參，常見消參方式有：代入法，等式兩邊同時平方，兩式相加、減，兩式相乘、除等，應(yīng)注意方程在變形過程中的等價性；
（2）在進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化時，應(yīng)掌握一些常見的構(gòu)造或湊配技巧（如方程兩邊同時乘以ρ，方程兩邊同時平方等）．關(guān)鍵是記住并會運用公式：

x=ρcosθ y=ρsinθ

和

ρ2=x2+y2(或ρ= x2+y2 ) tanθ= y x (x≠0)

，一般取θ∈[0，2π），ρ的范圍可根據(jù)具體情況而定．
2．在處理參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程的問題時，一般先將這些方程化為普通方程或直角坐標(biāo)方程，再進行其他相關(guān)運算．