Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t 為參數(shù)），曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2cosθ

sin2θ

．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）用極坐標(biāo)公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，把曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（II）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，計(jì)算|AB|=|t₁-t₂|的值．

解答：解：（I）由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ=

4cosθ

sin2θ

，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，即y²=4x，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x；
（II）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入y²=4x，得t2-8

3

t-16=0；
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則t1+t2=8

3

，t₁•t₂=-16；
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

64×3+64

=16，
則|AB|的值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)把極坐標(biāo)方程化為普通方程，再根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義，求出|AB|的值，是中檔題．