已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；
(Ⅱ)求證：；
(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

(Ⅰ)的最小值為；(Ⅱ)詳見解析；（Ⅲ），

解析試題分析：(Ⅰ)求導(dǎo)得：，由此可得函數(shù)在上遞減，上遞增，
從而得的最小值為．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結(jié)果.由(Ⅰ)知.這個不等式如何用？結(jié)合所在證的不等式可以看出，可以兩端同時乘以變形為：，把換成得，在這個不等式中令然后將各不等式相乘即得.
（Ⅲ）結(jié)合題中定義可知，分界線就是一條把兩個函數(shù)的圖象分開的直線.那么如何確定兩個函數(shù)是否存在分界線？顯然，如果兩個函數(shù)的圖象沒有公共點，則它們有無數(shù)條分界線，如果兩個函數(shù)至少有兩個公共點，則它們沒有分界線.所以接下來我們就研究這兩個函數(shù)是否有公共點.為此設(shè).通過求導(dǎo)可得當(dāng)時取得最小值0，這說明與的圖象在處有公共點．如果它們存在分界線，則這條分界線必過該點.所以設(shè)與的“分界線”方程為.由于的最小值為0，所以，所以分界線必滿足和.下面就利用這兩個不等式來確定的值.
試題解析：(Ⅰ)解：因為，令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)在上遞減，上遞增，
所以的最小值為．                           3分
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即
兩端同時乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
由得，，， ，
，．
將以上各式相乘得：
．         9分
（Ⅲ）設(shè).
則．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．
設(shè)與存在 “分界線”，方程為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為實常數(shù)，函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求證：且.（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若曲線在與處的切線相互平行，求的值及切線斜率；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的圖像C1與函數(shù)的圖像C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中實數(shù)a為常數(shù)．
(I)當(dāng)a=-l時，確定的單調(diào)區(qū)間：
(II)若f(x)在區(qū)間（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為-3，求a的值；
(Ⅲ)當(dāng)a=-1時，證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；
（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.

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已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)，定義：，.其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.
（Ⅰ）若，試寫出，的表達式；
（Ⅱ）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”.如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

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設(shè)函數(shù).
（1）研究函數(shù)的極值點；
（2）當(dāng)時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；
（3）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為元，則銷售量（單位：件）與零售價（單位：元）有如下關(guān)系：，問該商品零售價定為多少元時毛利潤最大，并求出最大毛利潤．（毛利潤銷售收入進貨支出）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)與的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數(shù)的值及點P的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點M、N，求實數(shù)的取值范圍 .

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