已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(Ⅱ)若,求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.
(Ⅰ)極小值;(Ⅱ)參考解析
解析試題分析:(Ⅰ)首先考慮定義域.再把代入求導(dǎo).令導(dǎo)函數(shù)可求得極值點(diǎn).再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可知道函數(shù)的極值.
(Ⅱ)由.在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方,可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立的問(wèn)題.從而令函數(shù)F(x)=.通過(guò)求導(dǎo)即可求得F(x)函數(shù)的最大值.從而可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)解由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), 1分
當(dāng)a=-1時(shí),f′(x)=x- 2分
令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去), 3分
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0, 因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)遞減的, 4分
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,因此函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增的, 5分
則x=1是f(x)極小值點(diǎn),
所以f(x)在x=1處取得極小值為f(1)= 6分
(Ⅱ)證明 設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,
則F′(x)=x+-2x2=, 9分
當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)<0, 10分
故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞減的, 11分
又F(1)=-<0, 12分
∴在區(qū)間[1,+∞)上,F(xiàn)(x)<0恒成立.即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)<g(x)恒成立.
因此,
當(dāng)a=1時(shí),在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的下方.13分
考點(diǎn):1.函數(shù)的極值.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.3.函數(shù)的恒成立問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),曲線通過(guò)點(diǎn)(0,2a+3),且在處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當(dāng)bc取得最大值時(shí),寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,若函數(shù)g(x)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求當(dāng)時(shí)g(x)的表達(dá)式,并求函數(shù)g(x)在R上的最小值及相應(yīng)的x值.
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設(shè)函數(shù)(,)。
⑴若,求在上的最大值和最小值;
⑵若對(duì)任意,都有,求的取值范圍;
⑶若在上的最大值為,求的值。
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在實(shí)數(shù)集R上定義運(yùn)算:
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在R上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,在的曲線上是否存在兩點(diǎn),使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直?若存在,求出切線方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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已知函數(shù)(,),.
(Ⅰ)證明:當(dāng)時(shí),對(duì)于任意不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)、,均有成立;
(Ⅱ)記,若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù),,與是否存在“分界線”?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),試比較與1的大;
(3)求證:
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已知函數(shù)在與時(shí),都取得極值.
(1)求的值;
(2)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若對(duì)都有恒成立,求的取值范圍.
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已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)求的值.
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