【題目】已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x﹣1|,x2﹣2ax+4a﹣2},其中min(p,q)=
(1)求使得等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍
(2)(1)求F(x)的最小值m(a)
(3)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)

【答案】
(1)

由a≥3,故x≤1時,

x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2(a﹣1)(2﹣x)>0;

當x>1時,x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣(2+2a)x+4a=(x﹣2)(x﹣2a),

則等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍是(2,2a)


(2)

(1)設(shè)f(x)=2|x﹣1|,g(x)=x2﹣2ax+4a﹣2,

則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=﹣a2+4a﹣2.

由﹣a2+4a﹣2=0,解得a=2+ (負的舍去),

由F(x)的定義可得m(a)=min{f(1),g(a)},

即m(a)=


(3)

當0≤x≤2時,F(xiàn)(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2);

當2<x≤6時,F(xiàn)(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}

=max{2,34﹣8a}=max{F(2),F(xiàn)(6)}.

則M(a)=


【解析】(1)由a≥3,討論x≤1時,x>1,去掉絕對值,化簡x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|,判斷符號,即可得到F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍;(2)(1)設(shè)f(x)=2|x﹣1|,g(x)=x2﹣2ax+4a﹣2,求得f(x)和g(x)的最小值,再由新定義,可得F(x)的最小值;(2)分別對當0≤x≤2時,當2<x≤6時,討論F(x)的最大值,即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M(a).本題考查新定義的理解和運用,考查分類討論的思想方法,以及二次函數(shù)的最值的求法,不等式的性質(zhì),考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

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