【題目】已知定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)當(dāng),時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)k=2,(2)(1,+∞)
【解析】
(1)利用奇函數(shù)定義可求得k=1;
(2)先利用奇函數(shù)和增函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式,然后分離參數(shù),先對(duì)m恒成立,構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最大值,接著再對(duì)n恒成立,構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最大值.即可求出t的范圍.
(1)由f(x)+f(﹣x)=0,得0,
即(k﹣2)( ax+a﹣x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,
∴k=2;
(2)由(1)知:f(x),
①當(dāng)a>1時(shí),a2﹣1>0,y=ax與y=﹣a﹣x在R上都是增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
②當(dāng)0<a<1時(shí),a2﹣1<0,y=ax與y=﹣a﹣x在R上都是減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
綜上,f(x)在R上是增函數(shù).
(此結(jié)論也可以利用單調(diào)性的定義證明)
不等式可化為f(2n2﹣m)>﹣f(2n﹣mn2),
∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
∴不等式可化為f(2n2﹣m)>f(﹣2n+mn2﹣2t);
又∵f(x)在R上是增函數(shù).
∴2n2﹣m>﹣2n+mn2﹣2t
即2t>(n2+1)m﹣2n2﹣2n,對(duì)于m∈[0,1]恒成立.
設(shè)g(m)=(n2+1)m﹣2n2﹣2n,m∈[0,1].
則2t>g(m)max=g(1)=﹣n2﹣2n+1
所以2t>﹣n2﹣2n+1,對(duì)于n∈[﹣1,0]恒成立.
設(shè)h(n)=﹣n2﹣2n+1,n∈[﹣1,0].
則2t>h(n)max=h(﹣1)=2.
所以t的取值范圍是(1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)=-1時(shí),求的單調(diào)區(qū)間及值域;
(2)若在()上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B.
(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、,證明為定值.
(ii)求直線AB的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,且 的最小值為t.
(1)求實(shí)數(shù)t的值;
(2)解關(guān)于x的不等式:|2x+1|+|2x﹣1|<t.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且.點(diǎn)
是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).
(1)求證:∥;
(2)若,且平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解男性家長(zhǎng)和女性家長(zhǎng)對(duì)高中學(xué)生成人禮儀式的接受程度,某中學(xué)團(tuán)委以問(wèn)卷形式調(diào)查了位家長(zhǎng),得到如下統(tǒng)計(jì)表:
男性家長(zhǎng) | 女性家長(zhǎng) | 合計(jì) | |
贊成 | |||
無(wú)所謂 | |||
合計(jì) |
(1)據(jù)此樣本,能否有的把握認(rèn)為“接受程度”與家長(zhǎng)性別有關(guān)?說(shuō)明理由;
(2)學(xué)校決定從男性家長(zhǎng)中按分層抽樣方法選出人參加今年的高中學(xué)生成人禮儀式,并從中選人交流發(fā)言,求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)證明: , , 不可能成等差數(shù)列;
(2)證明: , , 不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x﹣1|,x2﹣2ax+4a﹣2},其中min(p,q)=
(1)求使得等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍
(2)(1)求F(x)的最小值m(a)
(3)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費(fèi) | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;
(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.
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