Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有2^i-1個正整數(shù)，設a_ij（i，j∈N*）表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右第j個數(shù)．
（1）若a_ij=2010，求i和j的值；
（2）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求證：當n≥4時，A_n＞n+

C

3 n

．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題目中圖中數(shù)的排列規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)圖中是把正整數(shù)按從小下大、左小右大的原則進行排列，且第i行的第一個數(shù)是2^i-1，由此不難推斷2010的位置．
（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式可得A_n，再利用二項式定理可證明．

解答： （1）解：數(shù)表中前n行共有1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1個數(shù)，
即第i行的第一個數(shù)是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2010＜2¹¹，a_ij=2010，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2010，
解得j=2010-2¹⁰+1=987．
（2）證明：由（1）可得a_nn=2^n-1+n-1
∴A_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn
=（2⁰+0）+（2¹+1）+（2²+2）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（0+1+2+…+n-1）=2n-1+

n(n-1)

2

，
當n≥4時，A_n=（1+1）ⁿ-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n+

C

3 n

．

點評：本題以表格的形式給出正整數(shù)的排序方式，其關鍵是由表中的排序觀察總結出每行的第一個數(shù)等比的規(guī)律及每行內的數(shù)成等差的規(guī)律，從而得出任意一個數(shù)的通項公式，結合通項的特點，又考查了分組求和的方法，從而培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、總結規(guī)律的能力，綜合運用公式的能力．