Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且A∈（

π

6

，

π

2

），求邊長c的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，與已知等式結(jié)合整理后求出tanB的值，根據(jù)B為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)；
（2）由三角形內(nèi)角和定理列出關(guān)系式，將B度數(shù)代入表示出C，根據(jù)b與sinB的值，利用正弦定理表示出c，根據(jù)A的范圍利用正弦函數(shù)值域即可確定出c的范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，根據(jù)余弦定理a²+c²-b²=2accosB，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB，
∴2accosB=

2 3

3

acsinB，
∴tanB=

3

，
又∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-A-B=

2π

3

-A，
由正弦定理，得

c

sinC

=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2，
∴c=2sinC=2sin（

2π

3

-A），
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜

2π

3

-A＜

π

2

．
∴

1

2

＜sin（

2π

3

-A）＜1，
∴c∈（1，2）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．