Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2

3

，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理求出cosA，即可確定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，變形后將cosA，b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，且sinB≠0，
∴2cosA=1，即cosA=

1

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵A=

π

3

，b+c=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即12=16-3bc，
∴bc=

4

3

，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．