Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

（Ⅰ）求的值及函數(shù)的極值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.

 

Answer 1

（Ⅰ），極小值為無極大值；（Ⅱ）詳見解析；

（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得.再根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，便可得從而得.代入解析式得.由此根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得函數(shù)的極值；（Ⅱ）令.為了證，只需證，而這利用導(dǎo)數(shù)很易證明；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí), .所以當(dāng)時(shí)必有時(shí), .取即可.若,為了使問題簡化，作以下轉(zhuǎn)化：令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要，即成立.令，這樣轉(zhuǎn)化后，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就很簡單了，利用導(dǎo)數(shù)可找到，使得當(dāng)，恒有.

試題解析：解:（Ⅰ）由，得.

又,得.

所以.

令,得.當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時(shí), 取得極小值,且極小值為無極大值.

（Ⅱ）令,則.

由（Ⅰ）得,

故在R上單調(diào)遞增,又,

因此,當(dāng)時(shí), ,即.

（Ⅲ）①若,則.又由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí), .

所以當(dāng)時(shí), .取,當(dāng)時(shí)，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.

令,則.

所以當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增.

取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

又.

易知.所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒有.

綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當(dāng)時(shí),恒有. .....14分

解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）對任意給定的正數(shù)c，取

由（Ⅱ）知，當(dāng)x>0時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，

因此，對任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)與不等式.