Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)，恒成立.

Answer 1

（1）；（2）
（3）

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用
（1）因?yàn)楹瘮?shù)在給定區(qū)間x>1上單調(diào)遞增，則說明導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，然后分離參數(shù)求解取值范圍。
（2）把a(bǔ)=1,代入關(guān)系式中，求解導(dǎo)數(shù)，研究單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和端點(diǎn)值的函數(shù)值，然后比較大小得到最值。
（3）由（1）可知f(x)>f(1)恒成立，那么可知不等式關(guān)系式，然后結(jié)合放縮法得到結(jié)論。
解：（1）由已知得，
依題意得對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
而
（2）當(dāng)時(shí)，，令，得，
若時(shí)，，若時(shí)，，
故是函數(shù)在區(qū)間上的唯一的極小值，也是最小值，即，
而，
由于，則
（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上為增函數(shù)
當(dāng)，令，則，所以
即
所以
各式相加得