Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓的另一交點(diǎn)分別為，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明

【解析】

(1)可根據(jù)橢圓離心率為、橢圓過(guò)點(diǎn)、橢圓三者之間的關(guān)系列出算式，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果；

(2)首先根據(jù)橢圓性質(zhì)可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出直線的方程以及直線的方程，然后通過(guò)直線方程與橢圓方程聯(lián)立即可得出兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，然后利用橢圓的對(duì)稱性設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)直線的斜率等于直線的斜率即可列出方程并通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果。

(1)由題意知，解得，所以橢圓的方程為。

(2)易知、，則直線的方程為，直線的方程為.

聯(lián)立，得，于是，，

同理可得，，

又由點(diǎn)及橢圓的對(duì)稱性可知定點(diǎn)在軸上，

設(shè)為，則直線的斜率，直線的斜率，

令，則，化簡(jiǎn)得，解得，

所以直線過(guò)定點(diǎn)。