(本小題8分)已知圓C過點(diǎn)M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
(1)圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0;
(2)不存在實(shí)數(shù),使得過點(diǎn)的直線l垂直平分弦
此題考查了利用待定系數(shù)法求圓的一般式方程,垂直平分線的性質(zhì)及方程與函數(shù)的綜合.此題第二問利用的方法是反證法,此方法的步驟為:先否定結(jié)論,然后利用正確的推理得出與已知,定理及公理矛盾,得到假設(shè)錯(cuò)誤,故原結(jié)論成立
(1)設(shè)出圓的一般式方程,表示出圓心坐標(biāo),把圓心坐標(biāo)代入到直線x+2y+1=0中得到一個(gè)關(guān)于D,E及F的方程,然后把M與N的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓的方程,得到兩個(gè)關(guān)于E,F(xiàn)及D的方程,三個(gè)方程聯(lián)立即可求出D,E及F的值,確定出圓C的方程;
(2)利用反證法,先假設(shè)滿足題意得點(diǎn)存在,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到圓心C必然在直線l上,由點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)求出直線PC的斜率,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,求出直線AB的斜率,進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的值,然后由已知直線ax-y+1=0,變形得到y(tǒng)=ax+1,代入(1)中求出的圓C的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),得到根的判別式大于0,即可求出a的取值范圍,發(fā)現(xiàn)求出的a的值不在此范圍中,故假設(shè)錯(cuò)誤,則不存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB.
解:(1)設(shè)圓C的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0
則有      …………………2分
解得       
∴圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0 …………4分
(2)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在,
由于l垂直平分弦,故圓心必在l上.
所以l的斜率
, 所以.       …………5分
把直線ax-y+1="0" 即y="ax" +1.代入圓的方程,
消去,整理得
由于直線交圓兩點(diǎn),
,
,解得
則實(shí)數(shù)的取值范圍是.…………………7分
由于,
故不存在實(shí)數(shù),使得過點(diǎn)的直線l垂直平分弦.………8分
練習(xí)冊系列答案
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