【題目】△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,R是△ABC的外接圓半徑,有下列四個條件: ①(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab
②sinA=2cosBsinC
③b=acosC,c=acosB

有兩個結(jié)論:甲:△ABC是等邊三角形.乙:△ABC是等腰直角三角形.
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件,兩個結(jié)論中的一個為結(jié)論,寫出一個你認為正確的命題

【答案】(1)(2)→甲或(2)(4)→乙或(3)(4)→乙
【解析】解:由(1)(2)為條件,甲為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由如下: 證明:由(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab,變形得:
a2+b2+2ab﹣c2=3ab,即a2+b2﹣c2=ab,
則cosC= = ,又C為三角形的內(nèi)角,
∴C=60°,
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin(B﹣C)=0,
∵﹣π<B﹣C<π,
∴B﹣C=0,即B=C,
則A=B=C=60°,
∴△ABC是等邊三角形;
以(2)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:化簡得:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin(B﹣C)=0,
∵﹣π<B﹣C<π,
∴B﹣C=0,即B=C,
∴b=c,
由正弦定理 = = =2R得:
sinA= ,sinB= ,sinC= ,
代入 得:
2R( )=( a﹣b) ,
整理得:a2﹣b2= ab﹣b2 , 即a2= ab,
∴a= b,
∴a2=2b2 , 又b2+c2=2b2 ,
∴a2=b2+c2
∴∠A=90°,
則三角形為等腰直角三角形;
以(3)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:由正弦定理 = = =2R得:
sinA= ,sinB= ,sinC=
代入 得:
2R( )=( a﹣b) ,
整理得:a2﹣b2= ab﹣b2 , 即a2= ab,
∴a= b,
∴a2=2b2 , 又b2+c2=2b2 ,
∴a2=b2+c2
∴∠A=90°,
又b=acosC,c=acosB,
根據(jù)正弦定理得:sinB=sinAcosC,sinC=sinAcosB,
= ,即sinBcosB=sinCcosC,
∴sin2B=sin2C,又B和C都為三角形的內(nèi)角,
∴2B=2C,即B=C,
則三角形為等腰直角三角形.
所以答案是:(1)(2)→甲或(2)(4)→乙或(3)(4)→乙
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用正弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握正弦定理:

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,則f(x)是(
A.周期為π,圖象關(guān)于點 對稱的函數(shù)
B.最大值為2,圖象關(guān)于點 對稱的函數(shù)
C.周期為2π,圖象關(guān)于點 對稱的函數(shù)
D.最大值為2,圖象關(guān)于直線 對稱的函數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】“奶茶妹妹”對某時間段的奶茶銷售量及其價格進行調(diào)查,統(tǒng)計出售價x元和銷售量y杯之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:

價格x

5

5.5

6.5

7

銷售量y

12

10

6

4

通過分析,發(fā)現(xiàn)銷售量y對奶茶的價格x具有線性相關(guān)關(guān)系.
(Ⅰ)求銷售量y對奶茶的價格x的回歸直線方程;
(Ⅱ)欲使銷售量為13杯,則價格應定為多少?
注:在回歸直線y= 中, , = =146.5.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x(a∈R)
(1)當a=4時,解不等式f(x)≥8;
(2)當a∈[0,4]時,求f(x)在區(qū)間[3,4]上的最小值;
(3)若存在a∈[0,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

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【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中,從男生中隨機抽取了70人,從女生中隨機抽取了50人,男生中喜歡數(shù)學課程的占,女生中喜歡數(shù)學課程的占,得到如下列聯(lián)表.

喜歡數(shù)學課程

不喜歡數(shù)學課程

合計

男生

女生

合計

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(1)請將列聯(lián)表補充完整;試判斷能否有90%的把握認為喜歡數(shù)學課程與否與性別有關(guān);

(2)從不喜歡數(shù)學課程的學生中采用分層抽樣的方法,隨機抽取6人,現(xiàn)從6人中隨機抽取2人,若所選2名學生中的女生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

附:,其中.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax﹣1,a≠0
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=﹣1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=4(a3﹣a4),數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若λ>0,求對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=1,S3=12.
(1)求a24與S7的值;
(2)已知m、n均為正整數(shù),滿足am=Sn . 試求所有n的值構(gòu)成的集合.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,如果都是整數(shù),就稱點為整點,下列命題中正確的是__________.(寫出所有正確命題的編號)

①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點;

②若都是無理數(shù),則直線不經(jīng)過任何整點;

③直線經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當經(jīng)過兩個不同的整點;

④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是: 都是有理數(shù);

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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