Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）
（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f（x）≥8；
（2）當(dāng)a∈[0，4]時(shí)，求f（x）在區(qū)間[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x﹣4|+2x，

當(dāng)x≥4時(shí)，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；

當(dāng)x＜4時(shí)，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．

綜上可得，f（x）≥8的解集為[2，+∞）

（2）解：當(dāng)a∈[0，3]時(shí)，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

對(duì)稱軸為x= ∈[﹣1， ]，

區(qū)間[3，4]在對(duì)稱軸的右邊，為增區(qū)間，可得f（3）為最小值，即為15﹣3a；

當(dāng)a∈（3，4]時(shí)，當(dāng)3＜x＜a時(shí)f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，

對(duì)稱軸為x= ∈（ ，3]，區(qū)間（3，a）在對(duì)稱軸的右邊，為減區(qū)間；

當(dāng)a≤x≤4時(shí)，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

對(duì)稱軸為x= ∈[ ，1]，

區(qū)間[3，4]在對(duì)稱軸的右邊，為增區(qū)間，

即有f（a）取得最小值，且為2a．

綜上可得，a∈[0，3]時(shí)，f（x）的最小值為15﹣3a；

a∈（3，4]時(shí)，f（x）的最小值為2a

（3）解：當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=﹣x2+（2+a）x，對(duì)稱軸為x=

當(dāng)a∈[0，2]知a﹣ = ≤0，可得x＜a為增函數(shù)；

當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x2+（2﹣a）x，對(duì)稱軸為x= ，

當(dāng)a∈[0，2]知a﹣ = ＞0，可得x≥a為增函數(shù)；

則不滿足關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

當(dāng)a∈[2，4]時(shí)，a＞ +1＞ ﹣1，

∴y=f（x）在（﹣∞， +1）上單調(diào)增，在（ +1，a）上單調(diào)減，

在（a，+∞）上單調(diào)增，

∴當(dāng)f（a）＜tf（a）＜f（ +1）時(shí)，

關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

即2a＜t2a＜（ +1）2，

∵a∈[2，4]，∴1＜t＜ （1+ + ），

設(shè)h（a）= （1+ + ），

∵存在a∈[2，4]使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴1＜t＜h（a）max，

又可證h（a）= （1+ + ）在[2，4]上單調(diào)增，

∴h（a）max=h（4）= ，

∴1＜t＜

【解析】（1）f（x）=x|x﹣4|+2x，討論當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)x＜4時(shí)，去絕對(duì)值，解不等式，再求并集即可；（2）討論當(dāng)a∈[0，3]時(shí)，當(dāng)a∈（3，4]時(shí)，去絕對(duì)值，求出對(duì)稱軸，判斷單調(diào)性，可得最小值；（3）討論當(dāng)x＜a時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，取絕對(duì)值，求出對(duì)稱軸，討論當(dāng)a∈[0，2]，當(dāng)a∈[2，4]，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得極值，可得1＜t＜ （1+ + ），設(shè)h（a）= （1+ + ），運(yùn)用單調(diào)性可得h（a）的最大值，進(jìn)而得到所求t的范圍．