【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax﹣1,a≠0
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=﹣1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a),
當a<0時,對x∈R,有f′(x)>0,
當a<0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,+∞)
當a>0時,由f′(x)>0解得 或 ;
由f′(x)<0解得 ,
當a>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ;
f(x)的單調(diào)減區(qū)間為
(2)解:因為f(x)在x=﹣1處取得極大值,
所以f′(﹣1)=3×(﹣1)2﹣3a=0,∴a=1.
所以f(x)=x3﹣3x﹣1,f′(x)=3x2﹣3,
由f′(x)=0解得x1=﹣1,x2=1.
由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=﹣1處取得極大值f(﹣1)=1,
在x=1處取得極小值f(1)=﹣3.
因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,
結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知,m的取值范圍是(﹣3,1)
【解析】(1)先確求導數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間是增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間是減區(qū)間.(2)先根據(jù)極值點求出a,然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出極值以及端點的函數(shù)值,觀察可知m的范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1+x﹣2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).g(x)=x2﹣ax﹣a+3.若存在實數(shù)x1 , x2 , 使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1﹣x2|≤1,則實數(shù)a的取值范圍是
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【題目】已知點(1,﹣2)和( ,0)在直線l:ax﹣y﹣1=0(a≠0)的兩側(cè),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A.( , )
B.( , )
C.( , )
D.(0, )∪( ,π)
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【題目】△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,R是△ABC的外接圓半徑,有下列四個條件: ①(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab
②sinA=2cosBsinC
③b=acosC,c=acosB
④
有兩個結(jié)論:甲:△ABC是等邊三角形.乙:△ABC是等腰直角三角形.
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件,兩個結(jié)論中的一個為結(jié)論,寫出一個你認為正確的命題 .
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【題目】袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個,分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機取兩個球.
(Ⅰ)若兩個球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(Ⅱ)在(1)的條件下,記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X,求隨機變量X的概率分布與數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù),
(1)當a=1時,求曲線數(shù)在點(1, )處的切線方程;
(2)若時,函數(shù)數(shù)的最小值為0,求a的取值范圍。
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【題目】一個樣本M的數(shù)據(jù)是x1 , x2 , …,xn , 它的平均數(shù)是5,另一個樣本N的數(shù)據(jù)x12 , x22 , …,xn2它的平均數(shù)是34.那么下面的結(jié)果一定正確的是( )
A.SM2=9
B.SN2=9
C.SM2=3
D.Sn2=3
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