已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列,函數(shù)
 對(duì)于,定義:,稱(chēng)的滿(mǎn)意指數(shù).排列為排列的生成列.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出排列的生成列;
(Ⅱ)證明:若中兩個(gè)不同排列,則它們的生成列也不同;
(Ⅲ)對(duì)于中的排列,進(jìn)行如下操作:將排列從左至右第一個(gè)滿(mǎn)意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng),其它各項(xiàng)順序不變,得到一個(gè)新的排列.證明:新的排列的各項(xiàng)滿(mǎn)意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿(mǎn)意指數(shù)之和至少增加

(I);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)詳見(jiàn)解析.

解析試題分析:弄懂已知條件“對(duì)于,定義:,稱(chēng)的滿(mǎn)意指數(shù).”是解題的關(guān)鍵;把握第(I)問(wèn),由特殊到一般,才能順利求(II)(III).
試題解析:(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí),排列的生成列為.             3分
(Ⅱ)證明:設(shè)的生成列是的生成列是與
從右往左數(shù),設(shè)排列第一個(gè)不同的項(xiàng)為,即:,,,
顯然 ,,,,下面證明:.          5分
由滿(mǎn)意指數(shù)的定義知,的滿(mǎn)意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù).由于排列的前項(xiàng)各不相同,設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小,則有項(xiàng)比大,從而
同理,設(shè)排列中有項(xiàng)比小,則有項(xiàng)比大,從而
因?yàn)?個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列,且,所以 , 從而 . 所以排列的生成列也不同.                     8分
(Ⅲ)證明:設(shè)排列的生成列為,且中從左至右第一個(gè)滿(mǎn)意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng),所以 .                   9分
依題意進(jìn)行操作,排列變?yōu)榕帕?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/a/1uy164.png" style="vertical-align:middle;" />,設(shè)該排列的生成列為.                                                          10分
所以
     
所以,新排列的各項(xiàng)滿(mǎn)意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿(mǎn)意指數(shù)之和至少增加. &nb

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