【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣mx(m∈R).
(1)當(dāng)m=0時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)m≥0時(shí),求證:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);
(3)當(dāng)b>a>0時(shí),總有 >1成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:m=0時(shí),f(x)= ,(x>0),f′(x)=

令f′(x)>0,解得:0<x<e,令f′(x)<0,解得:x>e,

∴f(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減,

∵f(x)max=f(e)= >0,f( )=﹣e<0,

∴f(x)在(0,e)有且只有一個(gè)零點(diǎn),

x>e時(shí),f(x)>0恒成立,

∴f(x)在(e,+∞)無(wú)零點(diǎn),

綜上,m=0時(shí),f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);


(2)證明:∵f(x)= ﹣mx(m≥0),

f′(x)= (x>0),

令g(x)=1﹣lnx﹣mx2,g′(x)=﹣ ﹣2mx<0,

∴g(x)在(0,+∞)遞減,

∵g( )=1+ >0,(∵em>m),g(e)=﹣me2<0,

x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0,

∴x∈(0,x0)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)在(0,x0)遞增,

x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)在(0,x0)遞減,

∴x=x0是f(x)的極大值點(diǎn),

即m≥0時(shí),函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);


(3)解:∵b>a>0時(shí),總有 >1成立,

即b>a>0時(shí),總有f(b)﹣b>f(a)﹣a成立,

也就是函數(shù)h(x)=f(x)﹣x在區(qū)間(0,+∞)遞增,

由h(x)= ﹣(m+1)x(x>0)得:h′(x)= ﹣(m+1)≥0在(0,+∞)恒成立,

即m≤ ﹣1在(0,+∞)恒成立,

設(shè)k(x)= ﹣1,則k′(x)= (x>0),

∴令k′(x)>0,解得:x> ,令k′(x)<0,解得:0<x<

∴k(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增,

∴k(x)min=k( )=﹣ ﹣1,

故所求m的范圍是(﹣,﹣ ﹣1).


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最大值,從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)得到g(x)=1﹣lnx﹣mx2 , 求出g(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可;(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=f(x)﹣x在區(qū)間(0,+∞)遞增,由h(x)= ﹣(m+1)x(x>0),求出h(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到m≤ ﹣1在(0,+∞)恒成立,從而求出m的范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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