Question

點(diǎn)A、B、C都在圓x²+y²=1上，A和B的橫坐標(biāo)分別是1和

3

5

，BC∥OA，記∠AOB=α，∠BOC=β．
（1）求

OB

•

OC

的值；
（2）求sin（α+2β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C都在圓x²+y²=1上，A和B的橫坐標(biāo)分別是1和

3

5

，BC∥OA，可以求出A、B、C的坐標(biāo)，因此可出得出向量

OB

與向量

OC

的坐標(biāo)，然后利用向量?jī)?nèi)積運(yùn)算的坐標(biāo)公式求出

OB

•

OC

的值；
（2）利用兩角和的正弦公式展開，然后利用倍角公式化成單角形式，結(jié)合第（1）問(wèn)和圖形求出sinα，sinβ，cosα，cosβ代入即可求出sin（α+2β）的值．

解答： 解：（1）假設(shè)B在第一象限，則B（

3

5

，

4

5

），
∵BC∥OA，
∴向量

BC

與向量

OA

共線，所以C=（-

3

5

，

4

5

），
∴向量

OB

=（

3

5

，

4

5

），向量

OC

=（-

3

5

，

4

5

），
∴

OB

•

OC

=

3

5

×(-

3

5

)+

4

5

×

4

5

=

7

5

．
 （2）sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β
=sinα（1-2sin²β）+2cosαsinβcosβ
由（1）知：tan∠OAB=2，
所以sin∠OAB=

2 5

5

，所以sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

，
sinβ=

24

25

，cosβ=

7

25

，
所以sin（α+2β）=-

718 5

3125

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的內(nèi)積運(yùn)算、兩角和的正弦公式及倍角公式，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形計(jì)算三角函數(shù)值．