Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=-x²+2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性，即可求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）且f（0）=0．
于是x＜0時f（x）=x²+2x．
所以f（x）=

-x2+2x， x≥0 x2+2x， x＜0

．
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）=

-x2+2x， x≥0 x2+2x， x＜0

的圖象如圖：
則由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]
要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，（畫出圖象得2分）
結(jié)合f（x）的圖象知 

a-2＞-1 a-2≤1

，
所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．