Question

在計算“1×2+2×3+…+n（n-1）”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）．
…
n（n-1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n-1）]
相加，得1×2-2×3+…+n（n-1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：簡易邏輯,推理和證明

分析：本題考查的知識點是類比推理，是要根據已知中給出的在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時化簡思路，對1×3+2×4+…+n（n+2）的計算結果進行化簡，處理的方法就是類比，將n（n+2）進行合理的分解．

解答： 解：n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]111
∴1×3=

1

6

（1×2×9-0×1×7），
2×4=

1

6

（2×3×11-1×2×9）．
…
∴n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]
∴1×3+2×4+…+n（n+2）=

1

6

[（1×2×9-0×1×7）+（2×3×11-1×2×9）+…+（n（n+1）（2n+7）-（n-1）n（2n+5）]
=

1

6

n（n+1）（2n+7）
故答案為：

1

6

n（n+1）（2n+7）

點評：本題主要考查了類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．