【題目】在四棱錐中，底面是菱形，且，，，，.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）先連接，AC與BD交點(diǎn)為E,連接PE，先證直線平面，進(jìn)而可得，再由，，即可得出平面；

（2）取的中點(diǎn)，由題意可得EB、EC、EF兩兩垂直，因此以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，分別求出兩平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而求兩法向量夾角余弦值，由題中圖形判斷二面角時(shí)銳角還是鈍角，即可求出二面角的余弦值.

（1）證明：連接，設(shè)，連接.

因?yàn)榈酌?/span>是菱形，所以，.

因?yàn)?/span>，，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，，所以平面.

（2）解：取的中點(diǎn).

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

故以為原點(diǎn)，分別為的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

故，，.

設(shè)平面的法向量為.

則，不妨取，則.

設(shè)平面的法向量為，

則，不妨取，則.

記二面角的平面角為，易知為銳角，

則.

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知梯形ABCD中，，如圖（1）所示.現(xiàn)將△ABC沿邊BC翻折至A'BC，記二面角A'—BC—D的大小為θ.

（1）當(dāng)θ＝90°時(shí)，如圖（2）所示，過點(diǎn)B作平面與A‘D垂直，分別交于點(diǎn)E，F，求點(diǎn)E到平面的距離；

（2）當(dāng)時(shí)，如圖（3）所示，求二面角的正切值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學(xué)”，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng)．開學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查．已知該校高一年級共有學(xué)生660人，抽取的樣本中高二年級有50人，高三年級有45人．下表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表．

分組

頻數(shù)

頻率

5

0.10

8

0.16

x

0.14

12

y

10

0.20

z

合計(jì)

50

1

（1）求該校學(xué)生總數(shù)；

（2）求頻率分布表中實(shí)數(shù)x，y，z的值；

（3）已知日睡眠時(shí)間在區(qū)間[6，6.5)的5名高二學(xué)生中，有2名女生，3名男生，若從中任選2人進(jìn)行面談，則選中的2人恰好為一男一女的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.

(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；

(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）

頻數(shù)

10

45

35

6

4

男員工人數(shù)

7

23

18

1

1

（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”

“生產(chǎn)能手”

合計(jì)

男員工

女員工

合計(jì)

（2）為提高員工勞動(dòng)的積極性，工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計(jì)件單價(jià)為1元；超出件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.2元；超出件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元；超出400件以上的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實(shí)得計(jì)件工資（實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件工資+超定額計(jì)件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：，

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長18.964km，共設(shè)13座車站．目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，各站間計(jì)程票價(jià)（單位:元）如下：

四惠

3

3

3

3

4

4

4

5

5

5

5

5

四惠東

3

3

3

4

4

4

5

5

5

5

5

高碑店

3

3

3

4

4

4

4

5

5

p>5

傳媒大學(xué)

3

3

3

4

4

4

4

5

5

雙橋

3

3

3

4

4

4

4

4

管莊

3

3

3

3

4

4

4

八里橋

3

3

3

3

4

4

通州北苑

3

3

3

3

3

果園

3

3

3

3

九棵樹

3

3

3

梨園

/p>

3

3

臨河里

3

土橋

四惠

四惠東

高碑店

傳媒大學(xué)

雙橋

管莊

八里橋

通州北苑

果園

九棵樹

梨園

臨河里

土橋

（Ⅰ）在13座車站中任選兩個(gè)不同的車站，求兩站間票價(jià)不足5元的概率；

（Ⅱ）甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車（二人可同站下車），記甲乙二人乘車購票花費(fèi)之和為X元，求X的分布列；

（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價(jià)為元；乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價(jià)為元．試比較和的方差和大小．（結(jié)論不需要證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】先后拋擲一枚骰子兩次，將出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為.

（1）設(shè)向量，，求的概率；

（2）求在點(diǎn)數(shù)之和不大于5的條件下，中至少有一個(gè)為2的概率.

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