【題目】如圖1，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn).現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，得到四棱錐，如圖2，且.在圖2中：

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由的特殊直角三角形可知AC，再由余弦定理可求得MN，進(jìn)而由勾股定理可證，且，最后由線面垂直的判定定理即可得證；

（2）在圖1中，，所以，即，即可以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，即可表示與平面的法向量，最后由空間中向量法求得線面角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，所以.

由題意，得，所以.

在中，由余弦定理，得，

則，所以在圖2中，，所以.

又，且，即在圖2中，，所以，

又，平面，所以平面.

（2）在圖1中，，所以，即.

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知，，，，，則，.

設(shè)平面的法向量為，

則即解得令，則.

設(shè)直線與平面所成角為，又，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】己知橢圓過(guò)點(diǎn)，，是兩個(gè)焦點(diǎn)．以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓，

（1）求橢圓的方程；

（2）存在過(guò)原點(diǎn)的直線，與圓分別交于，兩點(diǎn)，與橢圓分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），使得，求圓半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)為2，并且當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】成都七中為了解班級(jí)衛(wèi)生教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校40個(gè)班級(jí)進(jìn)行了一次突擊班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評(píng)定為“優(yōu)”，獎(jiǎng)勵(lì)3面小紅旗；得分在評(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗；得分在評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗；得分在評(píng)定為“差”，不獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗.已知統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖如下圖：

（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；

（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的班級(jí)中抽取10個(gè)班級(jí)，再?gòu)倪@10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)進(jìn)行抽樣復(fù)核，記抽樣復(fù)核的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，,的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，.

(1)求證：平面；

(2)若平面平面，，，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ()，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）

A.若，是的零點(diǎn)，則是的整數(shù)倍

B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心

D.是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和該動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的比是常數(shù)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點(diǎn)，都有．

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【題目】新能源汽車已經(jīng)走進(jìn)我們的生活，逐漸為大家所青睞.現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進(jìn)行預(yù)售，預(yù)售場(chǎng)面異�；鸨试摻�(jīng)銷商采用競(jìng)價(jià)策略基本規(guī)則是：①競(jìng)價(jià)者都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與競(jìng)價(jià)的總?cè)藬?shù)；②競(jìng)價(jià)采用“一月一期制”，當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期汽車配額，按照競(jìng)價(jià)人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競(jìng)價(jià)，他為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，根據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)（如下表）

月份

2020.01

2020.02

2020.03

2020.04

2020.05

月份編號(hào)

1

2

3

4

5

競(jìng)拍人數(shù)（萬(wàn)人）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競(jìng)價(jià)人數(shù)y（萬(wàn)人）與月份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預(yù)測(cè)2020年6月份（月份編號(hào)為6）參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)；

（2）某市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)200位擬參加2020年6月份汽車競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：

報(bào)價(jià)區(qū)間（萬(wàn)元）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位競(jìng)價(jià)人員報(bào)價(jià)的平均值和樣本方差s2（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

（ii）假設(shè)所有參與競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布且μ與σ2可分別由（i）中所示的樣本平均數(shù)及s2估計(jì).若2020年月6份計(jì)劃提供的新能源車輛數(shù)為3174，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，最低成交價(jià)高于樣本平均數(shù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)（需說(shuō)明理由）最低成交價(jià).

參考公式及數(shù)據(jù)：

①回歸方程，其中

②

③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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