【題目】動點與定點的距離和該動點到直線的距離的比是常數(shù).
(1)求動點軌跡方程;
(2)已知點,問在軸上是否存在一點,使得過點的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點,都有.
【答案】(1);(2)存在,坐標為
【解析】
(1)根據(jù)題意列出點滿足的關(guān)系式,再化簡方程即可.
(2) 設,再討論當⊥軸時可得,即若存在定點,則定點坐標為.再討論斜率存在時,設的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達定理,證明即可.
(1)由題意,知,即.
解得曲線的方程為.
(2)法一:設,易知,
①若⊥軸時,由,此時,滿足橢圓方程,
∴,解得(舍),可知若存在定點,則定點坐標為.
②當直線斜率存在時,設斜率為k,
設的方程為,聯(lián)立橢圓方程,
消去得,∴.
,∴
,
綜合①②可知,存在點,使得.
(2)(解法二)設,易知,設.
若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,
,,
,
即是①,
由,得,
代入①式得
化簡,
整理得②,
為使與斜率無關(guān),由②式得出,解得(舍),
這說明與軸不垂直時,是過的弦,恒有,
若⊥軸時,:,是等腰三角形,,
,,,,
可見是等腰直角三角形,,
綜上,過的弦總有.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)存在兩個極值點,(其中),且的取值范圍為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠A,B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,若該產(chǎn)品按照一、二、三等級分類,則每件可分別獲利10元、8元、6元,現(xiàn)從A,B生產(chǎn)線的產(chǎn)品中各隨機抽取100件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖:
(I)根據(jù)已知數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)?
(II)求抽取的200件產(chǎn)品的平均利潤;
(III)估計該廠若產(chǎn)量為2000件產(chǎn)品時,一等級產(chǎn)品的利潤.
附:獨立性檢驗臨界值表
… | |||||||||||
… |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,,點為線段的中點,點為線段上靠近的三等分點.現(xiàn)沿進行翻折,得到四棱錐,如圖2,且.在圖2中:
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】某省為迎接新高考,擬先對考生某選考學科的實際得分進行等級賦分,再按賦分后的分數(shù)從高分到低分劃A、B、C、D、E五個等級,考生實際得分經(jīng)賦分后的分數(shù)在到1之間.在等級賦分科學性論證時,對過去一年全省高考考生的該學科成績重新賦分后進行分析,隨機抽取2000名學生的該學科賦分后的成績,得到如下頻率分布直方圖:(不考慮缺考考生的試卷)
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974,=14.59,∑(xi-)2pi=213
(1)求這2000名考生賦分后該學科的平均(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表);
(2)由頻率分布直方圖可以認為,學生經(jīng)過賦分以后的成績X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2:
(i)利用正態(tài)分布,求P(50.41<X<79.59);
(ii)某市有20000名高三學生,記Y表示這20000名高三學生中賦分后該學科等級為A等(即得分大于79.59)的學生數(shù),利用(i)的結(jié)果,求EY.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按照水果市場的需要等因素,水果種植戶把某種成熟后的水果按其直徑的大小分為不同等級.某商家計劃從該種植戶那里購進一批這種水果銷售.為了了解這種水果的質(zhì)量等級情況,現(xiàn)隨機抽取了100個這種水果,統(tǒng)計得到如下直徑分布表(單位:mm):
d | |||||
等級 | 三級品 | 二級品 | 一級品 | 特級品 | 特級品 |
頻數(shù) | 1 | m | 29 | n | 7 |
用分層抽樣的方法從其中的一級品和特級品共抽取6個,其中一級品2個.
(1)估計這批水果中特級品的比例;
(2)已知樣本中這批水果不按等級混裝的話20個約1斤,該種植戶有20000斤這種水果待售,商家提出兩種收購方案:
方案A:以6.5元/斤收購;
方案B:以級別分裝收購,每袋20個,特級品8元/袋,一級品5元/袋,二級品4元/袋,三級品3元/袋.
用樣本的頻率分布估計總體分布,問哪個方案種植戶的收益更高?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學共有1000人,其中男生700人,女生300人,為了了解該校學生每周平均體育鍛煉時間的情況以及經(jīng)常進行體育鍛煉的學生是否與性別有關(guān)(經(jīng)常進行體育鍛煉是指:周平均體育鍛煉時間不少于4小時),現(xiàn)在用分層抽樣的方法從中收集200位學生每周平均體育鍛煉時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時),其頻率分布直方圖如圖.已知在樣本數(shù)據(jù)中,有40位女生的每周平均體育鍛煉時間超過4小時,根據(jù)獨立性檢驗原理( )
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
A.有95%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別無關(guān)”
B.有90%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”
C.有90%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別無關(guān)”
D.有95%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省從2021年開始,高考采用取消文理分科,實行“”的模式,其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學生(其中女生900人).該校為了解高一年級學生對“1”的選課情況,采用分層抽樣的方法抽取了200名學生進行問卷調(diào)查,下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | ________ | 50 | |
女生 | 30 | ________ | |
總計 | ________ | ________ | 200 |
(1)求,的值;
(2)請你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001/span> | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(在花卉進行硬枝扦插過程中,常需要用生根粉調(diào)節(jié)植物根系生長.現(xiàn)有20株使用了生根粉的花卉,在對最終“花卉存活”和“花卉死亡”進行統(tǒng)計的同時,也對在使用生根粉2個小時后的生根量進行了統(tǒng)計,這20株花卉生根量如下表所示,其中生根量在6根以下的視為“不足量”,大于等于6根為“足量”.現(xiàn)對該20株花卉樣本進行統(tǒng)計,其中“花卉存活”的13株.已知“花卉存活”但生根量“不足量”的植株共1株.
編號 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
生根量 | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 | 7 | 5 | 9 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
(1)完成列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下,認為“花卉的存活”與“生根足量”有關(guān)?
生根足量 | 生根不足量 | 總計 | |
花卉存活 | |||
花卉死亡 | |||
總計 | 20 |
(2)若在該樣本“生根不足量”的植株中隨機抽取3株,求這3株中恰有1株“花卉存活”的概率.
參考數(shù)據(jù):
獨立性檢驗中的,其中.
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